अवकल समीकरण x^{2} frac{dy}{dx} = y^{2} + xy क | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^{2} \frac{dy}{dx} = y^{2} + xy$ है।$x^{2}$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} + xy}{x^{2}} = \left(\frac{y}{x

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$\frac{x}{y} + \log |x| = c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^{2} \frac{dy}{dx} = y^{2} + xy$ है।$x^{2}$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} + xy}{x^{2}} = \left(\frac{y}{x}\right)^{2} + \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = ux$,तो $\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$ होगा।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $u + x \frac{du}{dx} = u^{2} + u$.दोनों पक्षों से $u$ घटाने पर: $x \frac{du}{dx} = u^{2}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{du}{u^{2}} = \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int u^{-2} du = \int \frac{1}{x} dx$.$-u^{-1} = \log |x| + c$.चूंकि $u = \frac{y}{x}$,इसलिए $-\frac{x}{y} = \log |x| + c$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{x}{y} + \log |x| = -c$,जिसे $\frac{x}{y} + \log |x| = C$ के रूप में लिखा जा सकता है (जहाँ $C = -c$)।

अवकल समीकरण $x^{2} \frac{dy}{dx} = y^{2} + xy$ का हल है

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