अवकल समीकरण 3 x y' - 3 y + (x^2 - y^2)^{1/2} | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $3 x y' - 3 y + \sqrt{x^2 - y^2} = 0$. $x$ से विभाजित करने पर: $3 y' - 3 \frac{y}{x} + \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} = 0$. माना

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$3 \cos^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \ln |x|$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $3 x y' - 3 y + \sqrt{x^2 - y^2} = 0$. $x$ से विभाजित करने पर: $3 y' - 3 \frac{y}{x} + \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} = 0$. माना $y = vx$, तब $y' = v + x \frac{dv}{dx}$. प्रतिस्थापित करने पर: $3(v + x \frac{dv}{dx}) - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$. $3v + 3x \frac{dv}{dx} - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$. $3x \frac{dv}{dx} = -\sqrt{1 - v^2}$. चरों को पृथक करने पर: $\frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$. $\cos^{-1}(v) = \frac{1}{3} \ln |x| + C$. चूंकि $y(1) = 1$, इसलिए $x = 1$ पर $v = \frac{y}{x} = 1$. $\cos^{-1}(1) = \frac{1}{3} \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$. अतः, $\cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{3} \ln |x|$, जिसका अर्थ है $3 \cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln |x|$.

अवकल समीकरण $3 x y' - 3 y + (x^2 - y^2)^{1/2} = 0$ का हल, जो $y(1) = 1$ शर्त को संतुष्ट करता है, है

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