(2, 1) से गुजरने वाले वक्र के लिए (x, y) पर स | vedclass

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Question

(A) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ दी गई है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।माना $y = vx$, तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{

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$2y^2 = 2x^2 - 3x$

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(A) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ दी गई है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।माना $y = vx$, तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{2x(vx)} = \frac{1+v^2}{2v}$।$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1-v^2}{2v}$।चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{dx}{x}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$।$-\ln|1-v^2| = \ln|x| - \ln|C|$।$\ln|1-v^2| + \ln|x| = \ln|C|$।$x(1-v^2) = C$।$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $x\left(1-\frac{y^2}{x^2}\right) = C \implies \frac{x^2-y^2}{x} = C \implies x^2-y^2 = Cx$।चूँकि वक्र $(2, 1)$ से गुजरता है, $2^2 - 1^2 = C(2) \implies 3 = 2C \implies C = \frac{3}{2}$।अतः, $x^2 - y^2 = \frac{3}{2}x \implies 2x^2 - 2y^2 = 3x \implies 2y^2 = 2x^2 - 3x$।

$(2, 1)$ से गुजरने वाले वक्र के लिए $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{x^2+y^2}{2xy}$ है,तो वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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