समीकरण frac{dy}{dx} + 2y tan x = sin x का हल, | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y 	an x = \sin x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 	an x$ और

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$y = 2 \sin^2 x + \cos x - 2$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y 	an x = \sin x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 	an x$ और $Q = \sin x$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 2 	an x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = e^{\ln \sec^2 x} = \sec^2 x$ है।व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।$y \sec^2 x = \int \sin x \cdot \sec^2 x dx + c$.$y \sec^2 x = \int \sec x 	an x dx + c$.$y \sec^2 x = \sec x + c$.दिया है कि $x = \frac{\pi}{3}$ पर $y = 0$,इसलिए:$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + c$.$0 = 2 + c \implies c = -2$.अतः,$y \sec^2 x = \sec x - 2$.$\sec^2 x$ से भाग देने पर,$y = \frac{\sec x}{\sec^2 x} - \frac{2}{\sec^2 x} = \cos x - 2 \cos^2 x$ प्राप्त होता है।$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,$y = \cos x - 2(1 - \sin^2 x) = \cos x - 2 + 2 \sin^2 x$.इसलिए,$y = 2 \sin^2 x + \cos x - 2$.

समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ का हल,जो $x = \frac{\pi}{3}$ होने पर $y = 0$ को संतुष्ट करता है,है:

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मान लीजिए कि $x = x(y)$ अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0, y > 1, x(e) = e$ का हल है। तो $x(e^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\left(x+2 y^3\right) \frac{d y}{d x}=y^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

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मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x \log _e x \frac{d y}{d x}+y=x^2 \log _e x, (x > 1)$ का हल है। यदि $y(2)=2$ है,तो $y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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