समीकरणों के निकाय $x + y = \frac{2\pi}{3}$ और $\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$ का हल समुच्चय,जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक हैं,है:

लीला और मदन ने अपने संगीत $CDs$ को एक साथ मिलाकर बेच दिया। उन्हें प्रत्येक $CD$ के लिए उतने ही रुपये मिले जितनी कुल $CDs$ उन्होंने बेची थीं। उन्होंने पैसों को इस प्रकार साझा किया: लीला पहले $10$ रुपये लेती है,फिर मदन $10$ रुपये लेता है और वे बारी-बारी से $10$ रुपये तब तक लेते रहते हैं जब तक कि मदन के पास $10$ रुपये से कम न बच जाएं। अंत में मदन के पास कितनी राशि बचेगी,औचित्य के साथ ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ और $B$ एक यादृच्छिक प्रयोग की ऐसी घटनाएँ हैं कि $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$, और $P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$, तो $P(\bar{A} \cap B)$ ज्ञात कीजिए।

$A$ और $B$ दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः $3$ और $6$ अवयव हैं। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें। कथन $(I)$: $A \cup B$ में अवयवों की न्यूनतम संख्या $6$ है। कथन $(II)$: $A \cap B$ में अवयवों की अधिकतम संख्या $3$ है। निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

यदि $X$ और $Y$ दो ऐसे समुच्चय हैं कि $X \cup Y$ में $50$ अवयव हैं,$X$ में $28$ अवयव हैं और $Y$ में $32$ अवयव हैं,तो $X \cap Y$ में कितने अवयव हैं?

$1$ से $1000$ तक के उन पूर्णांकों की संख्या क्या है जो $2$ या $3$ से विभाज्य हैं?