$0, 3, 6, 9$ अंकों का उपयोग करके बिना दोहराव के बनने वाली सभी $4$-अंकीय संख्याओं का योग क्या है?

मान लीजिए $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$ ऐसे पूर्णांक हैं कि $\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} + \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}$,जहाँ $j = 2, 3, 4, 5, 6, 7$ के लिए $0 \leq a_j < j$ है। $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$ का योग है:

$2, 3, 5, 7$ अंकों का उपयोग करके अंकों की पुनरावृत्ति के बिना बनाई जा सकने वाली सभी संभावित संख्याओं का योग क्या है?

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$,जिसके लिए $n! < {\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)^n}$ सत्य है,वह है

मान लीजिए $S$ उन सभी पासवर्डों का सेट है जो $6$ से $8$ अक्षर लंबे हैं,जहाँ प्रत्येक अक्षर या तो $\{A, B, C, D, E\}$ से एक वर्णमाला है या $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ से एक संख्या है,जिसमें अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति है। यदि $S$ में उन पासवर्डों की संख्या जिनमें कम से कम एक अक्षर $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ से एक संख्या है,$\alpha \times 5^{6}$ है,तो $\alpha$ का मान $.......$ है।

जब $1! + 2! + 3! + \ldots + 11!$ को $12$ से विभाजित किया जाता है, तो प्राप्त शेषफल क्या है?