રેખા $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{-2} = \frac{z + 5}{2}$ પરના તે બિંદુના યામોનો સરવાળો કેટલો છે જે બિંદુ $(2, -3, -5)$ થી $3 \text{ એકમ}$ ના અંતરે છે?

જો રેખાઓ $\frac{x+2}{2}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-5}{4}$ અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+4}{2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $\frac{38}{3 \sqrt{5}} k$ હોય અને $\int_0^{k}\left[x^2\right] dx=\alpha-\sqrt{\alpha}$ હોય,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તો $6 \alpha^3$ ની કિંમત ............................ છે.

બિંદુ $({x_1}, {y_1}, {z_1})$ નું રેખા $\frac{{x - {x_2}}}{l} = \frac{{y - {y_2}}}{m} = \frac{{z - {z_2}}}{n}$ થી અંતર,જ્યાં $l, m, n$ એ રેખાના દિક્કોસાઇન છે,તે નીચે મુજબ છે:

બિંદુ $(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થતી અને રેખાઓ $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ અને $\frac{x+2}{-3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{5}$ ને લંબ હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે બિંદુ $A$ એ બિંદુ $P(a, b, 0)$ માંથી રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-\alpha}{3}$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. જો રેખાખંડ $PA$ નું મધ્યબિંદુ $(0, \frac{3}{4}, -\frac{1}{4})$ હોય, તો $a^2+b^2+\alpha^2$ ની કિંમત શોધો:

જો બિંદુઓ $A(2, 3, -1)$ અને $B(3, 5, -3)$ ને જોડતી રેખા,બિંદુઓ $C(1, 2, 3)$ અને $D(3, y, 7)$ ને જોડતી રેખાને લંબ હોય,તો $y=$