श्रेणी aC_0 + (a + b)C_1 + (a + 2b)C_2 + dots | vedclass

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Question

(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n} (a + rb)C_r$ है।इसे दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:$S = a \sum_{r=0}^{n} C_r + b \sum_{r=0}^{n} r C_r$.हम ज

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$(2a + nb)2^{n - 1}$

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(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n} (a + rb)C_r$ है।इसे दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:$S = a \sum_{r=0}^{n} C_r + b \sum_{r=0}^{n} r C_r$.हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$ और $\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$ होता है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$S = a(2^n) + b(n 2^{n-1})$.$2^{n-1}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:$S = 2a(2^{n-1}) + bn(2^{n-1})$.$S = (2a + nb) 2^{n-1}$.

श्रेणी $aC_0 + (a + b)C_1 + (a + 2b)C_2 + \dots + (a + nb)C_n$ का योग क्या है,जहाँ $C_r$,$(1 + x)^n, n \in N$ के विस्तार में संयोजी गुणांक को दर्शाता है?

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यदि $(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$ है,तो $a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n} =$

$\mathop \sum \limits_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${S_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{1}{{^n{C_r}}}} $ और ${t_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{r}{{^n{C_r}}}} $ है,तो $\frac{{{t_n}}}{{{S_n}}}$ का मान क्या होगा?

निम्नलिखित कथनों के संबंध में सही विकल्प चुनें:
$1$. $C_0+C_2+C_4+\ldots+C_n=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है
$2$. $C_1+C_3+C_5+\ldots+C_{n-1}=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है

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