श्रेणी 1 + frac{1}{1 + 2} + frac{1}{1 + 2 + 3 | vedclass

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Question

(C) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + r} = \frac{1}{\frac{r(r+1)}{2}} = \frac{2}{r(r+1)}$ है।$10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{r

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$\frac{20}{11}$

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(C) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + r} = \frac{1}{\frac{r(r+1)}{2}} = \frac{2}{r(r+1)}$ है।$10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = 2 \sum_{r=1}^{10} \frac{1}{r(r+1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1}$।अतः,$S_{10} = 2 \sum_{r=1}^{10} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$।योग का विस्तार करने पर: $S_{10} = 2 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{10} - \frac{1}{11}) \right]$।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S_{10} = 2 \left( 1 - \frac{1}{11} \right) = 2 \left( \frac{10}{11} \right) = \frac{20}{11}$।

श्रेणी $1 + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \dots$ के $10$ पदों तक का योग क्या है?

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