श्रेणी frac{3}{1^2} + frac{5}{1^2 + 2^2} + fr | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $r$-वां पद $T_r = \frac{2r+1}{1^2+2^2+\dots+r^2}$ है।वर्गों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^r k^2 = \frac{r(r+1)(2r+1)}{6}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{100}{17}$

Vedclass · Answer

(A) श्रेणी का $r$-वां पद $T_r = \frac{2r+1}{1^2+2^2+\dots+r^2}$ है।वर्गों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^r k^2 = \frac{r(r+1)(2r+1)}{6}$,हमें प्राप्त होता है:$T_r = \frac{2r+1}{\frac{r(r+1)(2r+1)}{6}} = \frac{6(2r+1)}{r(r+1)(2r+1)} = \frac{6}{r(r+1)}$.इसे आंशिक भिन्न के रूप में लिखने पर $T_r = 6 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} ight)$.$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^n T_r = 6 \sum_{r=1}^n \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} ight)$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = 6 \left( 1 - \frac{1}{n+1} ight) = \frac{6n}{n+1}$.$n = 50$ के लिए,$S_{50} = \frac{6 	imes 50}{51} = \frac{300}{51} = \frac{100}{17}$.

श्रेणी $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ के $50$ पदों का योग क्या है?

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श्रेणी $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots$ के प्रथम $n$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

यदि ${a_k} = \frac{1}{{k(k + 1)}}$ है,जहाँ $k = 1, 2, 3, 4, ..., n$,तो ${\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} } \right)^2} = $

$\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि श्रेणी $\frac{1}{1 \cdot(1+d)} + \frac{1}{(1+d)(1+2d)} + \dots + \frac{1}{(1+9d)(1+10d)}$ का योग $5$ है,तो $50d$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\frac{1}{1 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 9}+\frac{1}{9 \cdot 13}+\ldots$ के $n$ पदों का योग $= \frac{27}{109}$ है,तो $n = $

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