यदि श्रेणी frac{1}{1 cdot(1+d)} + frac{1}{(1+ | vedclass

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Question

(B) दी गई श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{9} \frac{1}{(1+kd)(1+(k+1)d)} = 5$ है। आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करके,प्रत्येक पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\fr

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$5$

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(B) दी गई श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{9} \frac{1}{(1+kd)(1+(k+1)d)} = 5$ है। आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करके,प्रत्येक पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{1}{(1+kd)(1+(k+1)d)} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{1+kd} - \frac{1}{1+(k+1)d} \right)$. $k=0$ से $9$ तक योग करने पर: $S = \frac{1}{d} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{1+d} \right) + \left( \frac{1}{1+d} - \frac{1}{1+2d} \right) + \dots + \left( \frac{1}{1+9d} - \frac{1}{1+10d} \right) \right] = 5$. यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\frac{1}{d} \left( 1 - \frac{1}{1+10d} \right) = 5$. $\frac{1}{d} \left( \frac{1+10d-1}{1+10d} \right) = 5$. $\frac{1}{d} \left( \frac{10d}{1+10d} \right) = 5$. $\frac{10}{1+10d} = 5$. $10 = 5(1+10d) \implies 10 = 5 + 50d$. $50d = 5$.

यदि श्रेणी $\frac{1}{1 \cdot(1+d)} + \frac{1}{(1+d)(1+2d)} + \dots + \frac{1}{(1+9d)(1+10d)}$ का योग $5$ है,तो $50d$ का मान ज्ञात कीजिए:

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जब $x=2$ हो,तो श्रेणी $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{2^{2}}{x^{4}+1}+\ldots+\frac{2^{100}}{x^{2^{100}}+1}$ का योग क्या होगा?

श्रेणी $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ के $50$ पदों का योग क्या है?

उस श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग क्या है,जिसका $k$-वां पद $k! \times k$ है?

$\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \ldots$ $24$ पदों तक $=$

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