जब x=2 हो,तो श्रेणी frac{1}{x+1}+frac{2}{x^{2 | vedclass

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Question

(A) माना योग $S = \sum_{k=0}^{100} \frac{2^k}{x^{2^k}+1}$ है।हम सर्वसमिका $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}$ का उपयोग करते हैं।सामान्य

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$1-\frac{2^{101}}{2^{2^{101}}-1}$

Vedclass · Answer

(A) माना योग $S = \sum_{k=0}^{100} \frac{2^k}{x^{2^k}+1}$ है।हम सर्वसमिका $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}$ का उपयोग करते हैं।सामान्य रूप से,$\frac{2^k}{x^{2^k}-1} - \frac{2^k}{x^{2^k}+1} = \frac{2^{k+1}}{x^{2^{k+1}}-1}$।अतः,$\frac{2^k}{x^{2^k}+1} = \frac{2^k}{x^{2^k}-1} - \frac{2^{k+1}}{x^{2^{k+1}}-1}$।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है।$S = \left( \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} \right) + \left( \frac{2}{x^2-1} - \frac{4}{x^4-1} \right) + \ldots + \left( \frac{2^{100}}{x^{2^{100}}-1} - \frac{2^{101}}{x^{2^{101}}-1} \right)$।$S = \frac{1}{x-1} - \frac{2^{101}}{x^{2^{101}}-1}$।$x=2$ रखने पर,$S = \frac{1}{2-1} - \frac{2^{101}}{2^{2^{101}}-1} = 1 - \frac{2^{101}}{2^{2^{101}}-1}$।

जब $x=2$ हो,तो श्रेणी $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{2^{2}}{x^{4}+1}+\ldots+\frac{2^{100}}{x^{2^{100}}+1}$ का योग क्या होगा?

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यदि $\sum\limits_{n = 1}^5 {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{k}{3}} $ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum_{k=0}^{12} \frac{1}{\sin \left((k+1) \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(\frac{k \pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right)} = $

$\frac{1}{3 \times 7} + \frac{1}{7 \times 11} + \frac{1}{11 \times 15} + \ldots$ $50$ पदों तक $=$

$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{3{k^2} + 3k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^3}}}} $ का मान किसके बराबर है?

अनंत श्रेणी $\cot ^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{19}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{39}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{67}{4}\right)+\ldots \ldots$ का योग है :-

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