sum_{k=0}^{12} frac{1}{sin left((k+1) frac{pi | vedclass

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Question

(D) माना $	heta_k = \frac{k\pi}{6} + \frac{\pi}{4}$. तब योग $\sum_{k=0}^{12} \frac{1}{\sin(	heta_{k+1}) \sin(	heta_k)}$ है।$\sin(A-B) = \sin A \cos

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$2(\sqrt{3}-1)$

Vedclass · Answer

(D) माना $	heta_k = \frac{k\pi}{6} + \frac{\pi}{4}$. तब योग $\sum_{k=0}^{12} \frac{1}{\sin(	heta_{k+1}) \sin(	heta_k)}$ है।$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\sin(	heta_{k+1} - 	heta_k) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{1}{\sin(	heta_{k+1}) \sin(	heta_k)} = 2(\cot(	heta_k) - \cot(	heta_{k+1}))$.यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $2 \sum_{k=0}^{12} (\cot(	heta_k) - \cot(	heta_{k+1})) = 2(\cot(	heta_0) - \cot(	heta_{13}))$.$	heta_0 = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\cot(	heta_0) = 1$.$	heta_{13} = \frac{13\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{12}$.$\cot(	heta_{13}) = \cot(\frac{5\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}$.योग $= 2(1 - (2 - \sqrt{3})) = 2(\sqrt{3} - 1)$.

$\sum_{k=0}^{12} \frac{1}{\sin \left((k+1) \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(\frac{k \pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right)} = $

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