अनंत श्रेणी cot ^{-1}left(frac{7}{4}right)+co | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \cot^{-1}\left(\frac{4n^2+3}{4}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{4}{4n^2+3}ight)$ है।इसे हम $T_n = 	an^{-1}\left(\frac

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$\frac{\pi}{2}-	an ^{-1}\left(\frac{1}{2}ight)$

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(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \cot^{-1}\left(\frac{4n^2+3}{4}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{4}{4n^2+3}ight)$ है।इसे हम $T_n = 	an^{-1}\left(\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)}ight)$ के रूप में लिख सकते हैं।सूत्र $	an^{-1}x - 	an^{-1}y = 	an^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}ight)$ का उपयोग करने पर,हमें $T_n = 	an^{-1}(2n+1) - 	an^{-1}(2n-1)$ प्राप्त होता है।प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n (	an^{-1}(2k+1) - 	an^{-1}(2k-1))$ है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = 	an^{-1}(2n+1) - 	an^{-1}(1)$।जब $n 	o \infty$,तब $S_{\infty} = \lim_{n 	o \infty} 	an^{-1}(2n+1) - 	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$।ध्यान दें कि $	an^{-1}(1/2) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(1/2)$।विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $\frac{\pi}{2} - 	an^{-1}(2)$ है,जो $	an^{-1}(1/2)$ के बराबर है।

अनंत श्रेणी $\cot ^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{19}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{39}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{67}{4}\right)+\ldots \ldots$ का योग है :-

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यदि ${a_1}, {a_2}, \dots, {a_{n+1}}$ $A.P.$ में हैं,तो $\frac{1}{{{a_1}{a_2}}} + \frac{1}{{{a_2}{a_3}}} + \dots + \frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$ का मान क्या है?

$\frac{1}{3 \times 7} + \frac{1}{7 \times 11} + \frac{1}{11 \times 15} + \ldots$ $50$ पदों तक $=$

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $\frac{1}{{1 + {1^2} + {1^4}}} + \frac{2}{{1 + {2^2} + {2^4}}} + \frac{3}{{1 + {3^2} + {3^4}}} + \dots$ के $n$ पदों का योग है

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