श्रेणी 1 + frac{1}{1 + 2} + frac{1}{1 + 2 + 3 | vedclass

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Question

(C) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + r}$ द्वारा दिया जाता है।प्रथम $r$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$1

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$\frac{20}{11}$

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(C) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + r}$ द्वारा दिया जाता है।प्रथम $r$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$1 + 2 + 3 + \dots + r = \frac{r(r + 1)}{2}$।अतः,$T_r = \frac{2}{r(r + 1)} = 2 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r + 1} \right)$।प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = 2 \sum_{r=1}^{10} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r + 1} \right)$ है।योग का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $S_{10} = 2 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{10} - \frac{1}{11}) \right]$।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_{10} = 2 \left( 1 - \frac{1}{11} \right)$ बचता है।$S_{10} = 2 \left( \frac{10}{11} \right) = \frac{20}{11}$।

श्रेणी $1 + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \dots$ के $10$ पदों तक का योग क्या है?

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