$A.P.$ में तीन संख्याओं का योग $12$ है और उनके घनों का योग $288$ है। वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

(A) माना कि $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a-d)$,$a$,और $(a+d)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनका योग $(a-d) + a + (a+d) = 12$ है।
इसे सरल करने पर $3a = 12$ प्राप्त होता है,अतः $a = 4$ है।
अतः संख्याएँ $(4-d)$,$4$,और $(4+d)$ हैं।
उनके घनों का योग $(4-d)^3 + 4^3 + (4+d)^3 = 288$ है।
घनों का विस्तार करने पर: $(64 - 48d + 12d^2 - d^3) + 64 + (64 + 48d + 12d^2 + d^3) = 288$ प्राप्त होता है।
पदों को संयोजित करने पर: $192 + 24d^2 = 288$ प्राप्त होता है।
$24d^2 = 96$,जिससे $d^2 = 4$ प्राप्त होता है,अतः $d = \pm 2$ है।
यदि $d = 2$ है,तो संख्याएँ $(4-2), 4, (4+2)$ अर्थात $2, 4, 6$ हैं।
यदि $d = -2$ है,तो संख्याएँ $(4-(-2)), 4, (4+(-2))$ अर्थात $6, 4, 2$ हैं।
अतः,वे संख्याएँ $2, 4, 6$ या $6, 4, 2$ हैं।