निम्नलिखित श्रेणी $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots$ का अनंत तक योग क्या होगा?

यदि $a_1, a_2, \dots, a_n$ सार्व अंतर $d$ के साथ $A.P.$ में हैं,तो निम्नलिखित श्रेणी का योग $\sin d (\csc a_1 \csc a_2 + \csc a_2 \csc a_3 + \dots + \csc a_{n-1} \csc a_n)$ है।

$1$ और $100$ के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है जो $3$ के गुणज हैं?

मान लीजिए कि $a_1, a_2, a_3, \dots$ एक वर्धमान गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) बनाते हैं जिसका सार्व अनुपात $r$ है,इस प्रकार कि $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \dots + \log_8 a_{12} = 2014$,तो पूर्णांकों के क्रमित युग्मों $(a_1, r)$ की संख्या किसके बराबर है?

$4$ संख्याओं की एक अनुक्रम दी गई है,जिसमें से पहली तीन संख्याएँ $G.P.$ (गुणोत्तर श्रेणी) में हैं और अंतिम तीन संख्याएँ $6$ के सार्व अंतर के साथ $A.P.$ (समांतर श्रेणी) में हैं। यदि इस अनुक्रम में पहला और अंतिम पद समान है,तो अंतिम पद क्या है?

मान लीजिए ${S_n}$ एक $A.P.$ (समांतर श्रेणी) के $n$ पदों का योग दर्शाता है। यदि ${S_{2n}} = 3{S_n}$ है,तो अनुपात $\frac{{{S_{3n}}}}{{{S_n}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।