मान लीजिए कि a_1, a_2, a_3, dots एक वर्धमान ग | vedclass

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Question

(C) लघुगणक का योग दिया गया है: $\log_8(a_1 a_2 \dots a_{12}) = 2014$.चूंकि $a_n = a_1 r^{n-1}$,गुणनफल $a_1^{12} r^{0+1+2+\dots+11} = a_1^{12} r^{66}$

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$46$

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(C) लघुगणक का योग दिया गया है: $\log_8(a_1 a_2 \dots a_{12}) = 2014$.चूंकि $a_n = a_1 r^{n-1}$,गुणनफल $a_1^{12} r^{0+1+2+\dots+11} = a_1^{12} r^{66}$ है।अतः,$\log_8(a_1^{12} r^{66}) = 2014$,जिसका अर्थ है $a_1^{12} r^{66} = 8^{2014} = (2^3)^{2014} = 2^{6042}$।मान लीजिए $a_1 = 2^m$ और $r = 2^n$ जहाँ $m, n$ पूर्णांक हैं (चूंकि श्रेणी वर्धमान है,$r > 1$,इसलिए $n \ge 1$)।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $(2^m)^{12} (2^n)^{66} = 2^{12m + 66n} = 2^{6042}$।घातांकों की तुलना करने पर: $12m + 66n = 6042$,जिसे सरल करने पर $2m + 11n = 1007$ प्राप्त होता है।$m$ के लिए हल करने पर: $m = \frac{1007 - 11n}{2}$।$m$ को पूर्णांक होने के लिए,$1007 - 11n$ को सम होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $n$ विषम होना चाहिए।चूंकि $a_1$ और $r$ पूर्णांक हैं और श्रेणी वर्धमान है,$n \ge 1$ और $m \ge 1$।$1007 - 11n \ge 2 \Rightarrow 11n \le 1005 \Rightarrow n \le 91.36$।अतः,$n$ के संभावित मान: $1, 3, 5, \dots, 91$ हैं।ऐसे मानों की कुल संख्या $\frac{91 - 1}{2} + 1 = 46$ है।

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