यदि A दो संख्याओं के बीच का समांतर माध्य है औ | vedclass

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Question

(A) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।$a$ और $b$ के बीच का समांतर माध्य $A = \frac{a+b}{2}$ द्वारा दिया जाता है।माना कि $A_1, A_2, \dots, A_n$ $a$ और

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$S = nA$

Vedclass · Answer

(A) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।$a$ और $b$ के बीच का समांतर माध्य $A = \frac{a+b}{2}$ द्वारा दिया जाता है।माना कि $A_1, A_2, \dots, A_n$ $a$ और $b$ के बीच के $n$ समांतर माध्य हैं। तब $a, A_1, A_2, \dots, A_n, b$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं जिसमें $n+2$ पद हैं।सार्व अंतर $d = \frac{b-a}{n+1}$ है।$n$ समांतर माध्यों का योग $S = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ है।चूंकि $A_1, A_2, \dots, A_n$ समांतर श्रेणी में हैं,उनका योग $S = \frac{n}{2}(A_1 + A_n)$ होगा।यहाँ,$A_1 = a + d = \frac{an + b}{n+1}$ और $A_n = b - d = \frac{bn + a}{n+1}$ है।अतः,$S = \frac{n}{2} \left( \frac{an + b + bn + a}{n+1} \right) = \frac{n}{2} \left( \frac{(a+b)(n+1)}{n+1} \right) = \frac{n(a+b)}{2}$.चूंकि $A = \frac{a+b}{2}$,इसलिए हमें $S = nA$ प्राप्त होता है।

यदि $A$ दो संख्याओं के बीच का समांतर माध्य है और $S$ उन्हीं दो संख्याओं के बीच के $n$ समांतर माध्यों का योग है,तो:

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