sumlimits_{r = 0}^{100} {({r^2} + 4r + 4)(r + | vedclass

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Question

(A) दिया गया योग $S = \sum\limits_{r = 0}^{100} {(r^2 + 4r + 4)(r + 1)!}$ है।
यहाँ $r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2$ होता है।
अतः,$S = \sum\limits_{r = 0}^

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$(103)! - 2$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया योग $S = \sum\limits_{r = 0}^{100} {(r^2 + 4r + 4)(r + 1)!}$ है।
यहाँ $r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2$ होता है।
अतः,$S = \sum\limits_{r = 0}^{100} {(r + 2)^2 (r + 1)!}$।
हम $(r + 2)^2$ को $(r + 2)(r + 3 - 1) = (r + 2)(r + 3) - (r + 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस प्रकार,$S = \sum\limits_{r = 0}^{100} {(r + 2)(r + 3)(r + 1)! - (r + 2)(r + 1)!}$।
चूँकि $(r + 3)(r + 2)(r + 1)! = (r + 3)!$ और $(r + 2)(r + 1)! = (r + 2)!$,इसलिए:
$S = \sum\limits_{r = 0}^{100} {(r + 3)! - (r + 2)!}$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = [(3! - 2!) + (4! - 3!) + (5! - 4!) + ... + (103! - 102!)]$।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,जिससे $S = 103! - 2! = 103! - 2$ प्राप्त होगा।

$\sum\limits_{r = 0}^{100} {({r^2} + 4r + 4)(r + 1)!}$ का मान ज्ञात कीजिए :-

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