વિધેય $y = f(x)$ ના આલેખ પરના બિંદુ $x = a$ આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\pi/3$ નો ખૂણો બનાવે છે અને $x = b$ આગળના બિંદુએ $\pi/4$ નો ખૂણો બનાવે છે. તો સંકલન $\int_{a}^{b} f(x) \cdot f''(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો (ધારો કે $f''(x)$ સતત છે).

$I(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$,જ્યાં $m, n > 0$ હોય,તો $I(9, 14) + I(10, 13)$ ની કિંમત શું થાય?

જો $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ અને $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ હોય,તો $I_1 : I_2$ શું થાય?

$\int_{0}^{2} ( |2x^2 - 3x| + [x - \frac{1}{2}] ) dx$,જ્યાં $[ \cdot ]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તેની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ એક સતત વિધેય છે જેથી $f(0)=1$ અને $\int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t) dt = 0$ થાય. તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ સમીકરણ $f(x) - 3 \cos 3x = 0$ ને $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(B)$ સમીકરણ $f(x) - 3 \sin 3x = -\frac{6}{\pi}$ ને $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{1 - e^{x^2}} = -1$
$(D)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \int_0^x f(t) dt}{x^2} = -1$

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(2)=1$. જો બધા $x \in R$ માટે $F(x) = x f(x)$ હોય,$\int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 6$ અને $\int_0^2 x^2 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ હોય,તો $F^{\prime}(2) + \int_0^2 F(x) dx$ ની કિંમત શોધો: