$1, 2, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके छः अंकों की कुल कितनी प्राकृतिक संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि प्रत्येक अंक संख्या में कम से कम एक बार आना चाहिए?

एक पुरुष $X$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ हैं और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Y$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ हैं और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $X$ और $Y$ का कोई भी मित्र सामान्य नहीं है। तो कुल कितने तरीकों से $X$ और $Y$ मिलकर एक पार्टी दे सकते हैं जिसमें $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को आमंत्रित किया जाए,ताकि $X$ और $Y$ में से प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों?

$7$ पुरुषों और $6$ महिलाओं के समूह में से,एक समिति बनाने के लिए पाँच व्यक्तियों का चयन किया जाना है ताकि समिति में कम से कम $3$ पुरुष हों। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

यदि $^{43}C_{r-6} = ^{43}C_{3r+1}$ है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक कॉलेज में कुल $12$ वॉलीबॉल खिलाड़ी हैं,जिनमें से $9$ खिलाड़ियों की एक टीम बनाई जानी है। यदि कप्तान हमेशा वही रहता है,तो टीम कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

$21$ संस्कृत पुस्तकों और $19$ फ्रेंच पुस्तकों को एक शेल्फ पर एक पंक्ति में कितने तरीकों से रखा जा सकता है ताकि दो फ्रेंच पुस्तकें एक साथ न हों?