दो वृत्त $x^2 + y^2 - 4y = 0$ और $x^2 + y^2 - 8y = 0$:

बिंदु $(1,0)$ से गुजरने वाला एक वृत्त $X$-अक्ष पर $4$ इकाई लंबाई का और $Y$-अक्ष पर $2\sqrt{11}$ इकाई लंबाई का अंतःखंड बनाता है। यदि वृत्त का केंद्र चौथे चतुर्थांश में स्थित है,तो वृत्त की त्रिज्या है

यदि $(-1, 1)$ केंद्र वाला एक वृत्त रेखा $x + 2y + 4 = 0$ को स्पर्श करता है,तो स्पर्श बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

एक वर्ग वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ में अंतर्निहित है,जिसकी भुजाएँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं। वर्ग का एक शीर्ष है

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों को स्तंभ $II$ के गुणों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ दो प्रतिच्छेदी वृत्त	$(p)$ एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा रखते हैं
$(B)$ दो परस्पर बाह्य वृत्त	$(q)$ एक उभयनिष्ठ अभिलंब रखते हैं
$(C)$ दो वृत्त,एक दूसरे के अंदर	$(r)$ कोई उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा नहीं रखते हैं
$(D)$ अतिपरवलय की दो शाखाएँ	$(s)$ कोई उभयनिष्ठ अभिलंब नहीं रखते हैं

$O$ केंद्र वाले एक वृत्त में,मान लीजिए $A, P, B$ इसकी परिधि पर तीन बिंदु इस प्रकार हैं कि $P$ लघु चाप $AB$ का मध्य-बिंदु है। मान लीजिए जब $\angle AOB = \theta$ है,तब $\frac{\text{area}(\triangle AOB)}{\text{area}(\triangle APB)} = \sqrt{5} + 2$ है। यदि $\angle AOB$ को दोगुना करके $2\theta$ कर दिया जाए,तो अनुपात $\frac{\text{area}(\triangle AOB)}{\text{area}(\triangle APB)}$ क्या होगा?