જેના માટે બિંદુઓ $A(2, 2, 1)$,$B(1, 1, 1)$,$C(-\lambda, 2, 1)$ અને $D(3, 0, -1)$ સમતલીય હોય તેવી $\lambda$ ની કિંમત $\lambda = $ ............ છે.

જો $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$, $b=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $c=5 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k}$ હોય, તો $a+b$, $b+c$, $c+a$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ શોધો.

આપેલ સદિશો $a, b, c$ માટે જો $a \cdot (b \times c) = \lambda \neq 0$ હોય,તો $\frac{(b \times c) \cdot (a + b + c)}{\lambda}$ ની કિંમત શોધો.

સહ-ધારાઓ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ દ્વારા બનતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $3$ છે. તો સહ-ધારાઓ $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ષટ્ફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ કેટલું થાય?

સમાંતર ફલક (parallelepiped) ની ઊંચાઈ શોધો, જેના સહ-આશ્રિત કિનારીઓ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$, અને $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ છે, જ્યાં $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ સમાંતર ફલકના પાયાની બાજુઓ છે.

ધારો કે ચતુષ્ફલક $ABCD$ નું ઘનફળ $81$ ઘન એકમ છે અને $G_1, G_2, G_3$ એ અનુક્રમે ત્રિકોણીય ફલકો $ABC, ABD$ અને $ACD$ ના મધ્યકેન્દ્રો છે. તો ચતુષ્ફલક $AG_1G_2G_3$ નું ઘનફળ (ઘન એકમમાં) કેટલું થાય?