$r$ ની કઈ કિંમત માટે $^{20}C_r \cdot ^{20}C_0 + ^{20}C_{r-1} \cdot ^{20}C_1 + ^{20}C_{r-2} \cdot ^{20}C_2 + \dots + ^{20}C_0 \cdot ^{20}C_r$ મહત્તમ થાય?

$12$ બિંદુઓના સમૂહમાંથી શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીને બનાવી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા શોધો,જેમાં $7$ બિંદુઓ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે.

બે અમેરિકન,બે બ્રિટિશ,એક ચાઈનીઝ,એક ડચ અને એક ઇજિપ્તીયન ગોળાકાર ટેબલ પર એવી રીતે બેસી શકે કે જેથી સમાન રાષ્ટ્રીયતા ધરાવતી વ્યક્તિઓ અલગ-અલગ રહે,તો તે માટેની રીતોની સંખ્યા શોધો.

$7$ પુરુષો અને $7$ સ્ત્રીઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ કેટલી રીતે બેસાડી શકાય કે જેથી કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે?

$223355888$ સંખ્યાના અંકોની પુનઃગોઠવણી કરીને કેટલી અલગ-અલગ નવ-અંકી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય,જેથી એકી અંકો બેકી સ્થાનો પર આવે?

જો ${}^n{P_4} : {}^n{P_5} = 1 : 2$ હોય,તો $n = $