-{ }^{15}C_{1} + 2 cdot { }^{15}C_{2} - 3 cdo | vedclass

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Question

(B) माना $S = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r} + \sum_{k=1, k 	ext{ is odd}}^{11} { }^{14}C_{k}$।सबसे पहले, योग $A = \sum_{r=1}^{15} (-

Vedclass · Accepted Answer

$2^{13}-14$

Vedclass · Answer

(B) माना $S = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r} + \sum_{k=1, k 	ext{ is odd}}^{11} { }^{14}C_{k}$।सबसे पहले, योग $A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r}$ का मूल्यांकन करें।सर्वसमिका $r \cdot { }^{n}C_{r} = n \cdot { }^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करते हुए, $A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} 15 \cdot { }^{14}C_{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} { }^{14}C_{r-1}$।$j = r-1$ रखने पर, $A = 15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j+1} { }^{14}C_{j} = -15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j} { }^{14}C_{j}$।चूंकि $n \ge 1$ के लिए $\sum_{j=0}^{n} (-1)^{j} { }^{n}C_{j} = 0$, इसलिए $A = -15(0) = 0$।अगला, $B = { }^{14}C_{1} + { }^{14}C_{3} + \ldots + { }^{14}C_{11}$ का मूल्यांकन करें।हम जानते हैं कि $\sum_{k 	ext{ is odd}} { }^{n}C_{k} = 2^{n-1}$।$n=14$ के लिए, $\sum_{k 	ext{ is odd}} { }^{14}C_{k} = { }^{14}C_{1} + { }^{14}C_{3} + \ldots + { }^{14}C_{13} = 2^{14-1} = 2^{13}$।अतः, $B = 2^{13} - { }^{14}C_{13} = 2^{13} - 14$।इसलिए, कुल योग $A + B = 0 + 2^{13} - 14 = 2^{13} - 14$ है।

$-{ }^{15}C_{1} + 2 \cdot { }^{15}C_{2} - 3 \cdot { }^{15}C_{3} + \ldots - 15 \cdot { }^{15}C_{15} + { }^{14}C_{1} + { }^{14}C_{3} + { }^{14}C_{5} + \ldots + { }^{14}C_{11}$ का मान है

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यदि $\sum\limits_{K = 1}^{12} {12K \cdot {^{12}C_K} \cdot {^{11}C_{K - 1}}} $ का मान $\frac{{12 \times 21 \times 19 \times 17 \times \dots \times 3}}{{11!}} \times {2^{12}} \times p$ के बराबर है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

${ }^{34}C_{10} + 3 \cdot { }^{34}C_{9} + 3 \cdot { }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{7} = $

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है, तो $(2n+1) ^nC_0 + (2n-1) ^nC_1 + (2n-3) ^nC_2 + \ldots + 1 \cdot ^nC_n$ का मान क्या है?

यदि $26 \left( \frac{2}{3} \binom{12}{2} + \frac{2}{5} \binom{12}{4} + \frac{2}{7} \binom{12}{6} + \dots + \frac{2}{13} \binom{12}{12} \right) = 3^{13} - \alpha$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

$C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \dots + (-1)^n C_n$ का मान क्या है?

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