-{ }^{15}C_{1} + 2 cdot { }^{15}C_{2} - 3 cdo | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $S = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r} + \sum_{k=1, k 	ext{ is odd}}^{11} { }^{14}C_{k}$.પ્રથમ, સરવાળો $A = \sum_{r=1}^{15}

Vedclass · Accepted Answer

$2^{13}-14$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $S = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r} + \sum_{k=1, k 	ext{ is odd}}^{11} { }^{14}C_{k}$.પ્રથમ, સરવાળો $A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r}$ ની ગણતરી કરો.$r \cdot { }^{n}C_{r} = n \cdot { }^{n-1}C_{r-1}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા, $A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} 15 \cdot { }^{14}C_{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} { }^{14}C_{r-1}$.$j = r-1$ લેતા, $A = 15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j+1} { }^{14}C_{j} = -15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j} { }^{14}C_{j}$.કારણ કે $n \ge 1$ માટે $\sum_{j=0}^{n} (-1)^{j} { }^{n}C_{j} = 0$, તેથી $A = -15(0) = 0$.આગળ, $B = { }^{14}C_{1} + { }^{14}C_{3} + \ldots + { }^{14}C_{11}$ ની ગણતરી કરો.આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k 	ext{ is odd}} { }^{n}C_{k} = 2^{n-1}$.$n=14$ માટે, $\sum_{k 	ext{ is odd}} { }^{14}C_{k} = { }^{14}C_{1} + { }^{14}C_{3} + \ldots + { }^{14}C_{13} = 2^{14-1} = 2^{13}$.તેથી, $B = 2^{13} - { }^{14}C_{13} = 2^{13} - 14$.તેથી, કુલ સરવાળો $A + B = 0 + 2^{13} - 14 = 2^{13} - 14$ થાય.

$-{ }^{15}C_{1} + 2 \cdot { }^{15}C_{2} - 3 \cdot { }^{15}C_{3} + \ldots - 15 \cdot { }^{15}C_{15} + { }^{14}C_{1} + { }^{14}C_{3} + { }^{14}C_{5} + \ldots + { }^{14}C_{11}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $c_0, c_1, c_2, \ldots, c_n$ એ $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકો દર્શાવતા હોય, તો $c_1 + 2c_2 + 3c_3 + \ldots + nc_n$ ની કિંમત શું થાય?

જો $(1+x)^n=C_0+C_1 x+C_2 x^2+\ldots+C_n x^n$ હોય,તો $C_0+2 C_1+3 C_2+\ldots+(n+1) C_n$ ની કિંમત શોધો.

$\sum\limits_{r = 0}^{n - 1} {\frac{{^n{C_r}}}{{^n{C_r} + {\,^n}{C_{r + 1}}}}} $ નું મૂલ્ય શું થાય?

જો $^nC_0 + \frac{1}{2} ^nC_1 + \frac{1}{3} ^nC_2 + \dots + \frac{1}{n+1} ^nC_n = \frac{1023}{10}$ હોય, તો $n =$ શોધો.

$\binom{n}{n-r} + \binom{n}{r+1}$,જ્યારે $0 \le r \le n-1$ હોય,ત્યારે તે કોના બરાબર છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module