int frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} ,dx का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} \,dx$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)^2} \,dx$. माना $t = x

Vedclass · Accepted Answer

$\log \left(\frac{x e^x}{1+x e^x}\right)+\frac{1}{1+x e^x}+c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} \,dx$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)^2} \,dx$. माना $t = x e^x$. तब $dt = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{dt}{t(1+t)^2}$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{t(1+t)^2} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{(1+t)^2}$. स्थिरांकों को हल करने पर,हमें $A=1, B=-1, C=-1$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) dt$. $I = \log|t| - \log|1+t| + \frac{1}{1+t} + c$. $t = x e^x$ वापस रखने पर: $I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + \frac{1}{1+x e^x} + c$.

$\int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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