int_{0}^{infty} frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx નુ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$.અંશને સરખાવતા: $x = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(1+x) = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C)$.સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B=0$,$B+C=1$,$A+C=0$.આ સમીકરણો ઉકેલતા,$A = -\frac{1}{2}$,$B = \frac{1}{2}$,અને $C = \frac{1}{2}$ મળે છે.તેથી,$I = \int_{0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2(1+x)} + \frac{x+1}{2(x^{2}+1)} ight) dx = -\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{2x}{x^{2}+1} dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+1}$.સંકલન કરતા: $I = \left[ -\frac{1}{2} \ln(1+x) + \frac{1}{4} \ln(x^{2}+1) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$.લોગેરિધમિક પદોને ભેગા કરતા: $I = \left[ \frac{1}{4} \ln \left( \frac{(x^{2}+1)}{(1+x)^{2}} ight) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$.જ્યારે $x 	o \infty$,ત્યારે $\frac{x^{2}+1}{(1+x)^{2}} 	o 1$,તેથી $\ln(1) = 0$.$x=0$ આગળ,$\frac{1}{4} \ln(1) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(0) = 0$.તેથી,$I = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 ight) = \frac{\pi}{4}$.

$t \ (\text{સેકન્ડમાં})$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
$v \ (\text{m/s માં})$	$0$	$12$	$16$	$20$	$35$	$60$

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

$\int_{-4}^{4} |x + 2| \, dx = $

$\int_0^\pi \frac{1}{4+3 \cos x} d x=$

જો $\cos x + \cos 2x + \ldots + \cos nx = \frac{A(x)}{2 \sin(x/2)}$ હોય, તો $\int_0^\pi A(x) dx =$

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{1}^{4}[|x-1|+|x-2|+|x-3|] d x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module