a का वह मान जिसके लिए hat{i} + a hat{j} + hat | vedclass

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Question

(B) सदिशों $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।$V = \b

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(B) सदिशों $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।$V = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \ 0 & 1 & a \ a & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$.आयतन को न्यूनतम करने के लिए,हम $V$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$\frac{dV}{da} = 3a^2 - 1$.$\frac{dV}{da} = 0$ रखने पर,हमें $3a^2 = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $a^2 = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2V}{da^2} = 6a$।$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2V}{da^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,जो दर्शाता है कि इस बिंदु पर आयतन न्यूनतम है।$a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2V}{da^2} = 6(-\frac{1}{\sqrt{3}}) अतः,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए आयतन न्यूनतम है।

$a$ का वह मान जिसके लिए $\hat{i} + a \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a \hat{k}$ और $a \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम हो,है

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