$\left| \begin{array}{ccc} 441 & 442 & 443 \\ 445 & 446 & 447 \\ 449 & 450 & 451 \end{array} \right|$ का मान है

यदि ${I_1} = \int\limits_1^{\sin \theta } {\frac{x}{{1 + x^2}}} \,dx$ और ${I_2} = \int\limits_1^{\csc \theta } {\frac{{dx}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}}$; तो $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}&{I_1^2}&{{I_2}} \\ {{e^{{I_1} + {I_2}}}}&{I_2^2}&{ - 1} \\ 1&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\Delta = \begin{vmatrix} a + x & b & c \\ b & x + c & a \\ c & a & x + b \end{vmatrix}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सारणिक का एक गुणनखंड है?

यदि $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है,तो सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & \omega^3 & \omega^2 \\ \omega^3 & 1 & \omega \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{array} \right|$ का मान क्या है?

$\theta \in (0, \pi /3)$ का एक मान,जिसके लिए $\left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & 1 + \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 1 + 4 \cos 6\theta \end{array} \right| = 0$ है,वह है

यदि $a=1+2+4+\cdots$ $n$ पदों तक,$b=1+3+9+\cdots$ $n$ पदों तक और $c=1+5+25+\cdots$ $n$ पदों तक है,तो $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}a & 2b & 4c \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n\end{array}\right|=$