int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}(x^3+cos x+ta | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^3+\cos x+	an^5 x) dx$ है। हम इसे तीन समाकलों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-\frac{\pi}{2}

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$2$

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(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^3+\cos x+	an^5 x) dx$ है। हम इसे तीन समाकलों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 	an^5 x dx$। निश्चित समाकल का गुणधर्म याद करें: यदि $f(x)$ एक विषम फलन है तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$,और यदि $f(x)$ एक सम फलन है तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ होता है। $f_1(x) = x^3$ के लिए,$f_1(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f_1(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 dx = 0$। $f_2(x) = \cos x$ के लिए,$f_2(-x) = \cos(-x) = \cos x = f_2(x)$,इसलिए यह एक सम फलन है। अतः,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 2[\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2(1-0) = 2$। $f_3(x) = 	an^5 x$ के लिए,$f_3(-x) = 	an^5(-x) = -	an^5 x = -f_3(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 	an^5 x dx = 0$। अतः,$I = 0 + 2 + 0 = 2$।

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^3+\cos x+\tan^5 x) dx$ का मान . . . . . . है।

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यदि $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{96 x^2 \cos^2 x}{1+e^x} dx = \pi(\alpha \pi^2 + \beta)$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$,तो $(\alpha + \beta)^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx = $

$\int_{0}^{1} \frac{\log (1+x)}{1+x^{2}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन $\int_{2}^{4} (x(3 - x)(4 + x)(6 - x)(10 - x) + \sin x) dx$ का मान क्या है?

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