$[\vec{a}-\vec{b} \quad \vec{b}-\vec{c} \quad \vec{c}-\vec{a}]$ का मान किसके बराबर है?

यदि $\vec{a} = \hat{i} - \hat{k}$, $\vec{b} = x\hat{i} + \hat{j} + (1 - x)\hat{k}$ और $\vec{c} = y\hat{i} + x\hat{j} + (1 + x - y)\hat{k}$ है, तो अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ किस पर निर्भर करता है?

यदि किसी शून्येतर सदिश $x$ के लिए $x \cdot a = 0, x \cdot b = 0$ और $x \cdot c = 0$ है,तो सत्य कथन है

यदि $\overline{a}=\frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i}+\hat{k})$ और $\overline{b}=\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$ है,तो $(2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot [(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b})] = $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x$ और $y$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $-2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$, $x \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$, और $\hat{i}+y \hat{j}-\hat{k}$ चार समतलीय बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं, तो $P(x, y)$ का बिंदुपथ क्या है?

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के किनारों की लंबाई इकाई है और वे असमतलीय इकाई सदिशों $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ के समानांतर हैं,जहाँ $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = 1/2$ है। तो समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।