यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $x^2 + 2y^2 = 2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के निर्देशांक अक्षों के बीच के अंतःखंड के मध्य बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $F_1(-1, 0)$ और $F_2(1, 0)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ की नाभियाँ हैं। मान लीजिए कि एक परवलय जिसका शीर्ष मूल बिंदु पर है और नाभि $F_2$ पर है,दीर्घवृत्त को प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $M$ पर और चतुर्थ चतुर्थांश में बिंदु $N$ पर काटता है।
$(1)$ त्रिभुज $F_1 M N$ का लंबकेंद्र है
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right)$
$(2)$ यदि $M$ और $N$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखाएँ $R$ पर मिलती हैं और $M$ पर परवलय का अभिलंब $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलता है,तो त्रिभुज $M Q R$ के क्षेत्रफल और चतुर्भुज $M F_1 N F_2$ के क्षेत्रफल का अनुपात है
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $5: 8$ $(D)$ $2: 3$

अतिपरवलय $H : x^{2} - y^{2} = 1$ और दीर्घवृत्त $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए जहाँ $a > b > 0$,मान लीजिए कि $(1)$ $E$ की उत्केंद्रता $H$ की उत्केंद्रता का व्युत्क्रम है,और $(2)$ रेखा $y = \sqrt{\frac{5}{2}} x + K$,$E$ और $H$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है। तो $4(a^{2} + b^{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि रेखा $y = \sqrt{3}x$ वक्र $x^4 + ax^2y + bxy + cx + dy + 6 = 0$ को $A$,$B$,$C$ और $D$ पर काटती है,तो $OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD$ का मान ज्ञात कीजिए,(जहाँ $O$ मूलबिंदु है)।