अतिपरवलय H : x^{2} - y^{2} = 1 और दीर्घवृत्त | vedclass

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Question

(D) अतिपरवलय $H: x^{2} - y^{2} = 1$ के लिए,$e_{H} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.दिया है $e_{E} = \frac{1}{e_{H}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.चूंकि $e_{E}^{2} =

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$3$

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(D) अतिपरवलय $H: x^{2} - y^{2} = 1$ के लिए,$e_{H} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.दिया है $e_{E} = \frac{1}{e_{H}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.चूंकि $e_{E}^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,हमारे पास $\frac{1}{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ $\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow a^{2} = 2b^{2}$.रेखा $y = mx + K$,$H: x^{2} - y^{2} = 1$ की स्पर्शरेखा है यदि $K^{2} = a_{H}^{2}m^{2} - b_{H}^{2} = 1(\frac{5}{2}) - 1 = \frac{3}{2}$.रेखा $y = mx + K$,$E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ की स्पर्शरेखा है यदि $K^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$.$K^{2} = \frac{3}{2} = a^{2}(\frac{5}{2}) + b^{2}$ को बराबर करने पर.$a^{2} = 2b^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{3}{2} = (2b^{2})(\frac{5}{2}) + b^{2} = 5b^{2} + b^{2} = 6b^{2}$.अतः,$b^{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ और $a^{2} = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$.इसलिए,$4(a^{2} + b^{2}) = 4(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.

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