frac{^{100}C_{50}}{51} + frac{^{100}C_{51}}{5 | vedclass

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Question

(D) हम सर्वसमिका $\frac{^{n}C_{r}}{r+1} = \frac{^{n+1}C_{r+1}}{n+1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया योग $S = \sum_{r=50}^{100} \frac{^{100}C_{r}}{r+1}$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2^{100}}{101}$

Vedclass · Answer

(D) हम सर्वसमिका $\frac{^{n}C_{r}}{r+1} = \frac{^{n+1}C_{r+1}}{n+1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया योग $S = \sum_{r=50}^{100} \frac{^{100}C_{r}}{r+1}$ है।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर, हमें $S = \sum_{r=50}^{100} \frac{^{101}C_{r+1}}{101}$ प्राप्त होता है।
$S = \frac{1}{101} \sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}}$, जहाँ $k = r+1$ है।
योग $\sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}}$ द्विपद गुणांकों $(1+x)^{101}$ के अंतिम आधे भाग के योग को दर्शाता है।
चूँकि $\sum_{k=0}^{101} {^{101}C_{k}} = 2^{101}$ और $\sum_{k=0}^{50} {^{101}C_{k}} = \sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}} = \frac{2^{101}}{2} = 2^{100}$ है।
अतः, $S = \frac{2^{100}}{101}$।

$\frac{^{100}C_{50}}{51} + \frac{^{100}C_{51}}{52} + \dots + \frac{^{100}C_{100}}{101}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $\sum\limits_{K = 1}^{12} {12K \cdot {^{12}C_K} \cdot {^{11}C_{K - 1}}} $ का मान $\frac{{12 \times 21 \times 19 \times 17 \times \dots \times 3}}{{11!}} \times {2^{12}} \times p$ के बराबर है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{{{}^{20}{C_{i - 1}}}}{{{}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i - 1}}}}} \right)} ^3 = \frac{k}{21}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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श्रेणी $\frac{1}{1 \times 2} {}^{25}C_{0} + \frac{1}{2 \times 3} {}^{25}C_{1} + \frac{1}{3 \times 4} {}^{25}C_{2} + \ldots + \frac{1}{26 \times 27} {}^{25}C_{25}$ का योग है

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