$\frac{^{100}C_{50}}{51} + \frac{^{100}C_{51}}{52} + \dots + \frac{^{100}C_{100}}{101}$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r = 2023 \times \alpha \times 2^{2022}$ છે. તો $\alpha$ ની કિંમત $............$ છે.

વિધાન $-1$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} = (n+2) 2^{n-1}$
વિધાન $-2$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r = (1+x)^n + nx(1+x)^{n-1}$

શ્રેણી $\frac{C_0}{2} - \frac{C_1}{3} + \frac{C_2}{4} - \frac{C_3}{5} + \dots$ ના $(n + 1)$ પદોનો સરવાળો શું થાય?

જો ${C_r}$ એ $^n{C_r}$ માટે વપરાતું હોય,તો શ્રેણી $\frac{{2(n/2)!(n/2)!}}{{n!}}[C_0^2 - 2C_1^2 + 3C_2^2 - ..... + {( - 1)^n}(n + 1)C_n^2]$ નો સરવાળો,જ્યાં $n$ એ યુગ્મ ધન પૂર્ણાંક છે,તે શું થાય?

$(3x-1)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ (જ્યાં $r=0, 1, 2, \ldots, 15$) ના સહગુણકોનો સરવાળો નીચેનામાંથી કયા વિસ્તરણના દ્વિપદી સહગુણકોના સરવાળા જેટલો છે?
$(a)\ (1+x)^{15}$
$(b)\ (1+x)^{16}+(1-x)^{16}$
$(c)\ (1+x)^{16}-(1-x)^{16}$