$x$ ની તે કિંમત જેના માટે સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + x\hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{j} + x\hat{k}$, અને $\vec{c} = x\hat{i} + \hat{k}$ દ્વારા બનતા સમાંતર ફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ ન્યૂનતમ હોય, તે છે

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ ત્રણ અસમતલીય એકમ સદિશો છે કે જેથી તેમની દરેક જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે. જો $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} = p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}$ હોય,જ્યાં $p, q$ અને $r$ અદિશ છે,તો $\frac{p^2 + 2q^2 + r^2}{q^2}$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ એ અસમતલીય સદિશો છે જેથી $\overrightarrow{P} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{Q} = 4\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}$ અને $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{a} + \alpha\overrightarrow{b} + \beta\overrightarrow{c}$ એ સુરેખ રીતે આધારિત સદિશો છે. તો $\alpha$ ની શક્ય કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$\hat{i} + a \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a \hat{k}$ અને $a \hat{i} + \hat{k}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય તે માટે $a$ ની કિંમત શોધો.

જો $a = i + j + k$,$b = 4i + 3j + 4k$ અને $c = i + \alpha j + \beta k$ સમતલીય સદિશો હોય અને $|c| = \sqrt{3}$ હોય,તો:

જો $\overrightarrow x = 3\hat i - 6\hat j - \hat k$,$\overrightarrow y = \hat i + 4\hat j - 3\hat k$ અને $\overrightarrow z = 3\hat i - 4\hat j - 12\hat k$ હોય,તો $\overrightarrow z$ પર $\overrightarrow x \times \overrightarrow y$ ના પ્રક્ષેપનું માન શોધો.