int_1^2 frac{dx}{x(1 + x^4)} का मान क्या है? | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_1^2 \frac{dx}{x(1 + x^4)}$.अंश और हर को $x^3$ से गुणा करने पर:$I = \int_1^2 \frac{x^3 dx}{x^4(1 + x^4)}$.माना $x^4 = t$,तब $4x^3 dx

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{4}\log \frac{32}{17}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_1^2 \frac{dx}{x(1 + x^4)}$.अंश और हर को $x^3$ से गुणा करने पर:$I = \int_1^2 \frac{x^3 dx}{x^4(1 + x^4)}$.माना $x^4 = t$,तब $4x^3 dx = dt$,जिसका अर्थ है $x^3 dx = \frac{dt}{4}$.जब $x = 1$,तब $t = 1^4 = 1$. जब $x = 2$,तब $t = 2^4 = 16$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \frac{1}{4} \int_1^{16} \frac{dt}{t(1 + t)}$.आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{t(1 + t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1 + t}$.$I = \frac{1}{4} \int_1^{16} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1 + t} ight) dt$.$I = \frac{1}{4} [\log|t| - \log|1 + t|]_1^{16} = \frac{1}{4} [\log|\frac{t}{1 + t}|]_1^{16}$.$I = \frac{1}{4} (\log \frac{16}{17} - \log \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \log (\frac{16}{17} 	imes 2) = \frac{1}{4} \log \frac{32}{17}$.

$\int_1^2 \frac{dx}{x(1 + x^4)}$ का मान क्या है?

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यदि $\int \frac{\sin x}{\sin 4x} dx = \alpha \log \left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right| + \beta \log \left| \frac{1+\sqrt{2} \sin x}{1-\sqrt{2} \sin x} \right| + c$ है, तो $32(\alpha + \beta^2) = $ का मान क्या है?

$\int \frac{x^3-1}{x^3+x} dx =$

$\int \frac{x^2}{(x^2-1)(x^2+1)} dx = $

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