int_a^{a + (pi /2)} (sin^4 x + cos^4 x) , dx | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_a^{a + (\pi /2)} (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx$ है। चूंकि फलन $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\frac{\pi

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$\frac{3\pi}{8}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_a^{a + (\pi /2)} (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx$ है। चूंकि फलन $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $\frac{\pi}{2}$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन का मान समान रहता है और यह $[0, \pi/2]$ पर समाकलन के बराबर होता है। अतः,$I = \int_0^{\pi/2} (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx$। सर्वसमिका $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$ का उपयोग करने पर। अतः,$I = \int_0^{\pi/2} (1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)) \, dx = \int_0^{\pi/2} 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin^2(2x) \, dx$। $I = [x]_0^{\pi/2} - \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos(4x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} [x - \frac{\sin(4x)}{4}]_0^{\pi/2}$। $I = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$।

$\int_a^{a + (\pi /2)} (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx$ का मान है

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समाकलन $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{1+\sin x} dx$ का मान है

यदि $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_{-4}^{4} \log \left(\frac{8-x}{8+x}\right) d x=$

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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