किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए,[x] उस महत्त | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 2$ है। दिया गया समाकलन $I = \frac{\pi^2}{10} \int_{-10}^{10} f(x) \cos(\pi x) dx$ है। चूंकि $f(x)$

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$4$

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(A) फलन $f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 2$ है। दिया गया समाकलन $I = \frac{\pi^2}{10} \int_{-10}^{10} f(x) \cos(\pi x) dx$ है। चूंकि $f(x)$ का आवर्तकाल $2$ है और $\cos(\pi x)$ का आवर्तकाल भी $2$ है,इसलिए $[-10, 10]$ पर समाकलन,$[0, 2]$ पर समाकलन का $10$ गुना होगा। $I = \frac{\pi^2}{10} 	imes 10 \int_{0}^{2} f(x) \cos(\pi x) dx = \pi^2 \int_{0}^{2} f(x) \cos(\pi x) dx$. $x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$ (सम),इसलिए $f(x) = 1 + 0 - x = 1 - x$. $x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$ (विषम),इसलिए $f(x) = x - 1$. अतः,$I = \pi^2 \left( \int_{0}^{1} (1 - x) \cos(\pi x) dx + \int_{1}^{2} (x - 1) \cos(\pi x) dx ight)$. प्रथम समाकलन का मान: $\int_{0}^{1} (1 - x) \cos(\pi x) dx = \left[ (1 - x) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} ight]_0^1 - \int_0^1 (-1) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} dx = 0 + \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi^2} ight]_0^1 = -\frac{1}{\pi^2} (-1 - 1) = \frac{2}{\pi^2}$. द्वितीय समाकलन का मान: $\int_{1}^{2} (x - 1) \cos(\pi x) dx = \left[ (x - 1) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} ight]_1^2 - \int_1^2 (1) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} dx = 0 - \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi^2} ight]_1^2 = \frac{1}{\pi^2} (\cos(2\pi) - \cos(\pi)) = \frac{1}{\pi^2} (1 - (-1)) = \frac{2}{\pi^2}$. दोनों का योग करने पर,$I = \pi^2 \left( \frac{2}{\pi^2} + \frac{2}{\pi^2} ight) = \pi^2 \left( \frac{4}{\pi^2} ight) = 4$.

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