int_{frac{1}{3}}^3 frac{1}{x} sin left(frac{1 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{\frac{1}{3}}^3 \frac{1}{x} \sin \left(\frac{1}{x}-x\right) d x$. $x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = -\frac{1}{t^2} dt$

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(A) माना $I = \int_{\frac{1}{3}}^3 \frac{1}{x} \sin \left(\frac{1}{x}-xight) d x$. $x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है। जब $x = \frac{1}{3}$ तब $t = 3$ और जब $x = 3$ तब $t = \frac{1}{3}$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int_3^{\frac{1}{3}} t \sin \left(t - \frac{1}{t}ight) \left(-\frac{1}{t^2}ight) dt$ $I = \int_3^{\frac{1}{3}} -\frac{1}{t} \sin \left(t - \frac{1}{t}ight) dt$ गुणधर्म $\sin(- 	heta) = -\sin(	heta)$ का उपयोग करने पर, $\sin(t - \frac{1}{t}) = -\sin(\frac{1}{t} - t)$ प्राप्त होता है। $I = \int_3^{\frac{1}{3}} \frac{1}{t} \sin \left(\frac{1}{t} - tight) dt$ समाकलन की सीमाओं को बदलने पर चिह्न बदल जाता है: $I = -\int_{\frac{1}{3}}^3 \frac{1}{t} \sin \left(\frac{1}{t} - tight) dt$ चूंकि समाकलन का चर एक डमी चर है, हम $t$ को $x$ से बदल सकते हैं: $I = -\int_{\frac{1}{3}}^3 \frac{1}{x} \sin \left(\frac{1}{x} - xight) dx$ $I = -I$ $2I = 0 \implies I = 0$.

$\int_{\frac{1}{3}}^3 \frac{1}{x} \sin \left(\frac{1}{x}-x\right) d x=$

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