समाकलन int_{-1}^{1} log left(x+sqrt{x^{2}+1}r | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx$,जहाँ $f(x) = \log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ है।$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि क्या $f(x)$ एक विषम फल

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(B) माना $I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx$,जहाँ $f(x) = \log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ है।$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि क्या $f(x)$ एक विषम फलन है:$f(-x) = \log \left(-x+\sqrt{(-x)^{2}+1}\right) = \log \left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)$.अंश और हर को $(\sqrt{x^{2}+1}+x)$ से गुणा करने पर:$f(-x) = \log \left(\frac{(\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\right) = \log \left(\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\right) = \log \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\right)$.गुणधर्म $\log(1/a) = -\log(a)$ का उपयोग करने पर:$f(-x) = -\log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) = -f(x)$.चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।अतः,$\int_{-1}^{1} \log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \, dx = 0$।

समाकलन $\int_{-1}^{1} \log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \, dx$ का मान क्या है?

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$a$ के उन मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए असमिका $\int_{a}^{0} (3^{-2x} - 2 \cdot 3^{-x}) \, dx \geq 0$ सत्य है:

$\int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{2\pi} [\sin 2x(1 + \cos 3x)] \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[t]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।

$\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi x \sin x \cos^4 x \, dx = $

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