સંકલન int_0^{frac{pi}{4}} frac{x , dx}{sin^4( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \, dx}{\sin^4(2x) + \cos^4(2x)}$.$2x = t$ લેતા,$dx = \frac{1}{2} dt$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sqrt{2} \pi^2}{32}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \, dx}{\sin^4(2x) + \cos^4(2x)}$.$2x = t$ લેતા,$dx = \frac{1}{2} dt$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{4}, t=\frac{\pi}{2}$.$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(t/2) \cdot (1/2) dt}{\sin^4 t + \cos^4 t} = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t \, dt}{\sin^4 t + \cos^4 t}$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(t) dt = \int_0^a f(a-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2} - t) dt}{\cos^4 t + \sin^4 t} = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{\sin^4 t + \cos^4 t} - I$.તેથી,$2I = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{\sin^4 t + \cos^4 t}$.અંશ અને છેદને $\cos^4 t$ વડે ભાગતા:$2I = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^4 t \, dt}{	an^4 t + 1} = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1 + 	an^2 t) \sec^2 t \, dt}{	an^4 t + 1}$.$	an t = y$ લેતા,$\sec^2 t \, dt = dy$:$2I = \frac{\pi}{8} \int_0^{\infty} \frac{1 + y^2}{y^4 + 1} dy = \frac{\pi}{8} \int_0^{\infty} \frac{1 + 1/y^2}{y^2 + 1/y^2} dy$.$y - 1/y = p$ લેતા,$(1 + 1/y^2) dy = dp$. સીમાઓ $-\infty$ થી $\infty$ બદલાય છે:$2I = \frac{\pi}{8} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dp}{p^2 + 2} = \frac{\pi}{8} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1} \left( \frac{p}{\sqrt{2}} ight) ight]_{-\infty}^{\infty} = \frac{\pi}{8\sqrt{2}} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$.તેથી,$I = \frac{\pi^2}{16\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\pi^2}{32}$.

સંકલન $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \, dx}{\sin^4(2x) + \cos^4(2x)}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Similar Questions

જો $[t]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq t$ દર્શાવતું હોય,તો $\frac{3(e-1)^2}{e} \int \limits_1^2 x^2 e^{[x]+[x^3]} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $F(x) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$,જ્યાં $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ હોય,તો $F(e) = $

$\int_0^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x=$

જો $\int_{ - a}^a {\sqrt {\frac{{a - x}}{{a + x}}} \,dx = k\pi ,} $ હોય,તો $k = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module