समाकलन I = int_{1/2014}^{2014} frac{tan^{-1} | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{	an^{-1} x}{x} dx$  $(i)$प्रतिस्थापन $x = \frac{1}{t}$ का उपयोग करने पर, $dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त हो

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$\frac{\pi}{2} \log 2014$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{	an^{-1} x}{x} dx$  $(i)$प्रतिस्थापन $x = \frac{1}{t}$ का उपयोग करने पर, $dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है।जब $x = 1/2014$, तब $t = 2014$ और जब $x = 2014$, तब $t = 1/2014$ होता है।$I = \int_{2014}^{1/2014} \frac{	an^{-1}(1/t)}{1/t} (-\frac{1}{t^2}) dt = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\cot^{-1} t}{t} dt = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\cot^{-1} x}{x} dx$  $(ii)$समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{	an^{-1} x + \cot^{-1} x}{x} dx$चूंकि $	an^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$:$2I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\pi/2}{x} dx = \frac{\pi}{2} [\ln x]_{1/2014}^{2014}$$2I = \frac{\pi}{2} (\ln 2014 - \ln(1/2014)) = \frac{\pi}{2} (\ln 2014 + \ln 2014) = \frac{\pi}{2} (2 \ln 2014) = \pi \ln 2014$अतः, $I = \frac{\pi}{2} \log 2014$.

समाकलन $I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ का मान है

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