मान लीजिए कि f(x) और g(x) दो फलन हैं जो f(x^{ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f(x^{2}) + g(4-x) = 4x^{3}$ और $g(4-x) = -g(x)$.पहले समीकरण में $g(4-x) = -g(x)$ रखने पर,हमें $f(x^{2}) - g(x) = 4x^{3}$ प्राप्त ह

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(D) दिया गया है कि $f(x^{2}) + g(4-x) = 4x^{3}$ और $g(4-x) = -g(x)$.पहले समीकरण में $g(4-x) = -g(x)$ रखने पर,हमें $f(x^{2}) - g(x) = 4x^{3}$ प्राप्त होता है,इसलिए $f(x^{2}) = 4x^{3} + g(x)$.हमें $I = \int_{-4}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $f(x^{2}) = 4x^{3} + g(x)$,इसलिए $\int_{-4}^{4} f(x^{2}) dx = \int_{-4}^{4} (4x^{3} + g(x)) dx$.$= \int_{-4}^{4} 4x^{3} dx + \int_{-4}^{4} g(x) dx$.चूंकि $4x^{3}$ एक विषम फलन है,इसलिए $\int_{-4}^{4} 4x^{3} dx = 0$.$g(4-x) = -g(x)$ दिया गया है,जिससे $g(x)$ का समाकलन शून्य हो जाता है।अतः,समाकलन का मान $0$ है।

मान लीजिए कि $f(x)$ और $g(x)$ दो फलन हैं जो $f(x^{2}) + g(4-x) = 4x^{3}$ और $g(4-x) + g(x) = 0$ को संतुष्ट करते हैं। तो $\int_{-4}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{1 + \sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x$ का मान है

$\int_{-1}^1 \log \left(\frac{2-x}{2+x}\right) d x=$

यदि $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx$ और $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx$ इस प्रकार है कि $I_{2} = \alpha I_{1}$,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

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