$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{1 + \sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:[-2, 3] \to [0, \infty)$ एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in [-2, 3]$ के लिए $f(1-x) = f(x)$ है। यदि $R_1$,$y = f(x)$,$x = -2$,$x = 3$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का संख्यात्मक मान है और $R_2 = \int_{-2}^3 x f(x) dx$ है,तो:

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{4}|x-1| d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx$ और $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx$ इस प्रकार है कि $I_{2} = \alpha I_{1}$,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $(a, b)$ वक्र $x^2=2y$ और सरल रेखा $y-2x-6=0$ का द्वितीय चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु है। तब समाकलन $I=\int_a^b \frac{9x^2}{1+5^x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan ^{7} x}{\cot ^{7} x+\tan ^{7} x} d x $ का मान ज्ञात कीजिए।