समाकलन int_{-pi}^{pi} (cos px - sin qx)^2 dx | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos px - \sin qx)^2 dx$. समाकल्य का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2 px + \sin^2

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$2\pi$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos px - \sin qx)^2 dx$. समाकल्य का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2 px + \sin^2 qx - 2 \cos px \sin qx) dx$. गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ का उपयोग करते हुए यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो पद $\int_{-\pi}^{\pi} 2 \cos px \sin qx dx = 0$ होगा क्योंकि $\cos px$ सम है और $\sin qx$ विषम है। अतः,$I = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 px dx + \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 qx dx$. सर्वसमिका $\cos^2 	heta = \frac{1 + \cos 2	heta}{2}$ और $\sin^2 	heta = \frac{1 - \cos 2	heta}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 + \cos 2px}{2} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos 2qx}{2} dx$. $I = \frac{1}{2} [x + \frac{\sin 2px}{2p}]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{2} [x - \frac{\sin 2qx}{2q}]_{-\pi}^{\pi}$. चूंकि $p, q$ पूर्णांक हैं,$\sin(2p\pi) = 0$ और $\sin(-2p\pi) = 0$. $I = \frac{1}{2} [(\pi - 0) - (-\pi - 0)] + \frac{1}{2} [(\pi - 0) - (-\pi - 0)]$. $I = \frac{1}{2} [2\pi] + \frac{1}{2} [2\pi] = \pi + \pi = 2\pi$.

समाकलन $\int_{-\pi}^{\pi} (\cos px - \sin qx)^2 dx$ का मान,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं,किसके बराबर है?

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