यदि फलन f(x) = begin{cases} x + a sqrt{2} sin | vedclass

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Question

(D) चूंकि फलन $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए इन बिंदुओं पर बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए।$x = \frac{\pi}{4}$ प

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$\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{12}$

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(D) चूंकि फलन $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए इन बिंदुओं पर बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए।$x = \frac{\pi}{4}$ पर:$\lim_{x 	o \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2(\frac{\pi}{4}) \cdot 1 + b$$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4} \quad (i)$$x = \frac{\pi}{2}$ पर:$\lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$चूंकि $\lim_{x 	o \frac{\pi}{2}} x \cot x = 0$:$0 + b = a \cos(\pi) - b \sin(\frac{\pi}{2})$$b = -a - b \implies a + 2b = 0 \quad (ii)$समीकरण $(ii)$ से,$a = -2b$. इसे $(i)$ में रखने पर:$-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$तब $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.अतः,$a = \frac{\pi}{6}$ और $b = -\frac{\pi}{12}$।

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