वे मान p और q जिनके लिए फलन f(x) = begin{case | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0) = q$ होना चाहिए।सबसे पहले,दाईं सीमा ($R$.$H$.$L$.) की गणन

Vedclass · Accepted Answer

$(-3/2, 1/2)$

Vedclass · Answer

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0) = q$ होना चाहिए।सबसे पहले,दाईं सीमा ($R$.$H$.$L$.) की गणना करें:$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x+x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+x} - 1)}{x \cdot \sqrt{x}} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$.संयुग्मी $\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}$ से गुणा करने पर:$\lim_{x 	o 0^+} \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.अतः,$q = 1/2$.अब,बाईं सीमा ($L$.$H$.$L$.) की गणना करें:$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} \frac{\sin(p+1)x + \sin x}{x} = \lim_{x 	o 0^-} \left( \frac{\sin(p+1)x}{x} + \frac{\sin x}{x} ight)$.$\lim_{	heta 	o 0} \frac{\sin 	heta}{	heta} = 1$ का उपयोग करने पर:$(p+1) + 1 = p+2$.चूंकि $L.H.L. = q$,इसलिए $p+2 = 1/2$,जिसका अर्थ है $p = 1/2 - 2 = -3/2$.इसलिए,मान $(p, q) = (-3/2, 1/2)$ हैं।

वे मान $p$ और $q$ जिनके लिए फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(p+1)x + \sin x}{x} & x < 0 \\ q & x = 0 \\ \frac{\sqrt{x+x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} & x > 0 \end{cases}$ $\forall x \in R$ के लिए सतत है,हैं

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क्या $f(x) = |x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है?

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